Il teorema di Lagrange
Enunciato
Sia G' un sottogruppo del gruppo G di ordine finito N.
Allora N è un multiplo dell'ordine n di G'.
Dimostrazione
Dato G' possiamo costruire le sue classi laterali sinistre per ogni elemento ei di G; otteniamo quindi una lista di N classi:
e1.G'
e2.G'
...
Ognuna di queste classi laterali ha ordine n e compare n volte nel precedente elenco, potendo
essere generata da ognuno dei suoi elementi; ma in base alla proprietà delle classi laterali
queste classi sono disgiunte e hanno tutte lo stesso ordine n. Ne segue che N = n.k
dove k è il numero di classi laterali distinte ottenuto. Dunque N è multiplo di n.
Esempio
Tavola del gruppo Z*
Φ(7) = 6
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| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
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| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
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| 2 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5
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| 3 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 4
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| 4 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3
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| 5 | 5 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2
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| 6 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1
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Tavola del sottogruppo
S = < {1, 6}, * >
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| | 1 | 6
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| 1 | 1 | 6
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| 6 | 6 | 1
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Si consideri il gruppo moltiplicativo Z
7 (con ordine = 6) la cui tavola di moltiplicazione è riportata a lato.
Il sottoinsieme {1, 6} dà luogo al sottogruppo
S di ordine 2, come si verifica facilmente.
Si hanno allora due
classi laterali sinistre disgiunte:
2.S = {2, 5}
3.S = {3, 4}
E l'ordine N del gruppo è il triplo di 2.
Conseguenze