L'aritmetica ordinaria opera su insiemi infiniti di numeri: l'insieme $\mathbb{N}$ dei numeri naturali: $\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, 4 ...\}$ quello dei relativi $\mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4 ...\}$ fino a quello dei numeri reali $\mathbb{R}$.
Nella realtà però si ha spesso a che fare con situazioni nelle quali i numeri possibili sono finiti, limitati, per esempio:
Si definisce allora aritmetica modulare un'aritmetica che opera su un insieme limitato di numeri, di solito un sottoinsieme di $\mathbb{N}$ escludendo i negativi. Potrebbe anche dirsi aritmetica circolare, in quanto una volta raggiunto l'ultimo numero si ricomincia dal primo.
Il primo esempio ricordato sopra, quello dell'orologio è un'aritmetica modulo 24, basata sull'insieme è $\{0, 1, 2, 3, ... 22, 23\}$.
In generale un'aritmetica modulo n si basa sull'insieme $\{0, 1 , 2 ... n-1\}$; questi numeri possono vedersi come i possibili resti di una divisione per n.
Molti ambienti e linguaggi informatici prevedono un operatore per il calcolo del resto; il simbolo è mod (linguaggio Pascal) o % (linguaggio C e simili). P.es. $19 \mod 7 = 5 \quad;\quad 19\% 7 = 5$.
Le regole di calcolo si basano sul calcolo del resto: la somma algebrica e il prodotto vengono prima eseguite nell'aritmetica ordinaria, e qui si calcola il resto della divisione tra il risultato e il modulo dell'aritmetica. Sono possibili anche algoritmi di calcolo più veloce e che eviti il calcolo di numeri troppo grandi.
Esempi in modulo 24:
Le aritmetiche modulari ereditano di norma le proprietà dell'algebra ordinaria della somma ordinaria fra numeri interi; si tratta quindi di un gruppo finito commutativo.
Lo stesso vale per il prodotto, ma il terzo esempio qui sopra mostra che la regola di annullamento del prodotto (un prodotto è nullo se e solo se lo è almeno uno dei due fattori) non è più valida.
Questo inconveniente può evitarsi solo se $n$ è primo; in questo caso si ha un campo finito o di Galois (vedi anche gruppo moltiplicativo).
Un caso di particolare interesse è quello della potenza di un numero.
Naturalmente è possibile definire e calcolare le operazioni inverse, per esempio il reciproco ; di norma il calcolo delle operazioni inverse è molto più oneroso di quello della corrispondente operazione diretta; per numeri grandi la complessità può diventare proibitiva, cosa che è stata sfruttata per progettare cifrari robusti. Esempio classico il calcolo del logaritmo discreto, che è alla base del sistema Diffie-Hellman per la trasmissione sicura delle chiavi.
L'aritmetica modulare più semplice è quella modulo 2, definita quindi nell'insieme {0, 1}. La tabellina dell'addizione è ovviamente molto breve e sorprendentemente equivale alla tabella della sottrazione:
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0
che equivale poi all'operazione logica di disgiunzione esclusiva (XOR).
Le aritmetiche modulari trovano applicazione in molti metodi della crittografia, dal cifrario di Vernam ad RSA.