Teoria dei numeri - I numeri primi - I numeri primi sono infiniti
La funzione Zeta di Riemann
La caccia ai numeri primi

Per dimostrare l'infinità dei numeri primi Eulero aveva usato la serie armonica dimostrando che era uguale al prodotto di tutte le serie di potenze degli inversi dei numeri primi:
     1     1     1     1           1
1 + --- + --- + --- + --- + ... + --- = Prod(1 - p^(-1))^(-1)
     2     3     4     5           n
Eulero generalizzò questa serie nella seguente funzione ζ(s)
             1       1       1       1
ζ(s) = 1 + ----- + ----- + ----- + ----- + ... 
            2^s     3^s     4^s     5^s
e ne calcolò alcuni valori; ζ(0) = 1 + 1 + 1 + 1 ... chiaramente divergente; ζ(1) è la serie armonica anch'essa divergente; per altri valori si possono invece avere valori finiti, p.es. ζ(2) = π²/6.
Un secolo dopo Riemann considerò il caso in cui s è un numero complesso; in questo caso la funzione può anche annullarsi per alcuni valori di s, ovvero presentare degli zeri. Alcuni zeri sono considerati banali, mentre di particolare interesse sono gli zeri con parte reale compresa tra 0 e 1. Riemann riuscì a calcolare diversi zeri in questa striscia e notò che avevano tutti parte reale = 1/2; formulò allora la congettura che tutti gli zeri della funzione zeta avessero parte reale = 1/2; e a 150 anni di distanza la congettura di Riemann attende ancora una dimostrazione (o una confutazione) e costituisce uno dei più famosi problemi irrisolti della matematica.
Essendo la congettura di Riemann collegata alla serie dei numeri primi dalla formula di Eulero, e alle formule per il calcolo del numero di numeri primi, alcuni pensano che un'eventuale dimostrazione di questa congettura potrebbe aprire la strada alla scoperta di nuovi più efficienti metodi per fattorizzare un numero nei suoi fattori primi, e quindi minare le fondamenta del cifrario RSA.


Fonti sul web

Valido HTML 4.01!