Matematica e crittologia
Gruppo delle rotazioni di un triangolo
Aritmetiche finite - Teoria dei numeri

L'insieme delle tre rotazioni di un triangolo equilatero su se stesso con l'operazione di composizione delle rotazioni (una rotazione seguita da un'altra rotazione) costituisce un gruppo commutativo che chiameremo RT; le tre rotazioni possibili sono:

ILR
IILR
LLRI
RRIL

I è l'elemento neutro, R ed L sono l'uno l'inverso dell'altro; infatti RL = LR = I. A lato la tavola di moltiplicazione del gruppo.

Inoltre R2 = L e L2 = R mentre ovviamente R3 = L3 = I (con tre rotazioni si torna alla posizione di partenza).



L'insieme delle isometrie di un triangolo equilatero ABC su se stesso e l'operazione di composizione delle isometrie (una seguita da un'altra) costituisce un gruppo non commutativo; alle tre rotazioni del gruppo precedente si aggiungono i tre ribaltamenti del triangolo sulle sue tre altezze.

Il ribaltamento del triangolo rispetto all'altezza da A si chiamerà S. Gli altri due ribaltamenti vengono chiamati RS ed LS, infatti equivalgono ad una rotazione seguita da S.

ILRSLSRS
IILRSLSRS
LLRILSRSS
RRILRSSLS
SSRSLSIRL
LSLSSRSLIR
RSRSLSSRLI

Come sopra I è l'elemento neutro, R, L sono tutti l'uno l'inverso dell'altro; invece S, RS, LS sono l'inverso di se stessi; per esempio RSRS = RLSS = II = I. A lato la tavola di moltiplicazione del gruppo che non √® abeliano (commutativo). Si nota in particolare che che RS = SL e LS = SR.

Il gruppo iniziale RT ne è sottogruppo ed ha due classi laterali: S.RT e RT.S



Fonti bibliografiche e collegamenti